线性映射

研究线性映射是研究线性空间之间的映射。

线性映射可以表示为矩阵的形式，所以在线性映射中矩阵中的大量概念都可以找到对应关系。

线性映射与线性变换

设和是域上的两个线性空间，是到的一个映射。

如果对于中任意的向量和，域中任意的标量和，有：

称是到的一个线性映射。如果，则称是上的一个线性变换。

例如，恒等变换保持空间不变，零变换将空间映射至零空间。

可以记为所有到的线性映射构成的集合。对于全体线性变换，也记为。

性质

线性映射将零向量映射到零向量。
线性映射保持线性运算形式不变，即，线性运算的线性映射，等于线性映射的线性运算。
线性映射保持线性相关性，即，映射前线性相关，映射后也线性相关。

但是线性映射不保持线性无关性。映射前线性无关，映射后不一定线性无关。

线性映射的矩阵表示

设的维数是，的一组基为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ，的维数是，的一组基为 $\beta_1,\cdots,\beta_m$ ，是到的一个线性映射。

将每个 $\alpha$ 经由映射后的向量用 $\beta$ 表示：

T\alpha_j=a_{1j}\beta_1+\cdots+a_{mj}\beta_n

采用矩阵记法：

T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_m)A

称矩阵为线性映射在这两组基下的矩阵表示。

线性映射的核空间与像空间

这里的核空间与像空间是站在线性映射的视角下叙述的。借助矩阵表示可以看出，线性映射的核空间与像空间与矩阵的核空间与像空间是一致的。

设是由空间到空间的线性映射，令：

N(T)=\{x\in V|Tx=0\}

R(T)=Im(T)=\{y\in W|y=Tx,Vx\in V\}

易验证为的子空间，为的子空间，称及为的核空间和像空间，并称的维数为的零度或亏，的维数为的秩。

定理：设是由空间到空间的线性映射，的维数有限，则及均为有限维，且有：

\operatorname{dim} N(T)+\operatorname{dim} R(T)=\operatorname{dim} V

即的亏加秩等于其定义域的维数。

线性变换的矩阵表示

设的维数是，的一组基为 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ，是上的一个线性变换，则有：

T\alpha_j=a_{1j}\alpha_1+\cdots+a_{nj}\alpha_n

采用矩阵记法：

T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A

称矩阵为线性变换在这组基下的矩阵表示。

由空间结构和的线性性质，由 $T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n$ 完全确定，故由唯一确定一个矩阵。

定理：设的维数是， $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为的一组基，任取阶方阵，有且仅有一个从到的线性变换，使得的矩阵恰好为。

推论：在和全体阶方阵之间存在一一对应关系。

例如：零变换对应零矩阵，恒等变换对应单位矩阵。

线性变换构成的空间

定理：也可以构成线性空间，引入中的运算：对于中任意的与，中任意的，域中任意的，有：

容易验证是上的一个线性空间，即线性变换空间。

对于中的线性变换与，定义与的乘积为：

可以验证也是中的线性变换，并且线性变换的乘积满足结合律，而不满足交换律，与矩阵的乘积类似。

对于中的线性变换，如果中的线性变换，使得对于中任意的向量，有：

则称是的逆变换，记作：

T_2=T_1^{-1}

且有：

定理：设的维数为， $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 为的一组基，在这组基下线性变换的矩阵为，的矩阵为，则：

线性变换的矩阵为
线性变换的数乘的矩阵为
线性变换的乘积的矩阵为
线性变换的逆变换若存在，矩阵为 $A^{-1}$

坐标

设个向量是维空间的一个基，对于中任意的向量，令为：

y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}

称列向量：

\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}

为向量在基 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 下的坐标。

可见，坐标是由域中的标量构成的列向量，与阿贝尔群中的向量应当进行区分。

坐标变换公式

设的维数为，中有变换，在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下的矩阵为。设：

\xi=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

且有：

T\xi=T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}

则有：

T\xi=T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

空间中的列向量点本质上都是「基乘坐标」的形式。空间中的列向量点，本身用了单位阵作为基，即。

只有同一个基，基不动的时候，单纯的线性变换，就是坐标左乘普通矩阵。

把线性变换看成对于空间的一个观测滤镜。线性变换的作用对象是空间，将空间扭曲了。加了滤镜之后，点本身的位置没有变。

这个定理也说明，对于列向量基的线性变换，等价于对于基右乘一个过渡矩阵。

于是，在不同的基之间，坐标关系是左乘过渡矩阵的逆矩阵。

过渡矩阵

设个向量与个向量是空间的两组基。对于 $1\leq i\leq n$ ，令每个向量在基 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 下的坐标为：

y_i=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\a_{2i}\\\vdots\\a_{ni}\end{pmatrix}

于是个向量排成等式左边的矩阵，个坐标排成等式右边的矩阵：

(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)A

矩阵称为由基 $x_1,x_2\cdots,x_n$ 到基 $y_1,y_2\cdots,y_n$ 的 过渡矩阵，也称为变换矩阵。

显然过渡矩阵可逆。对于上式，由基 $y_1,y_2\cdots,y_n$ 到基 $x_1,x_2\cdots,x_n$ 的过渡矩阵为 $A^{-1}$ 。

可见，过渡矩阵是由域中的标量构成的矩阵，并非阿贝尔群中的向量排成的矩阵，应当予以区分。

设个向量与个向量是空间的两组基。对于空间中的同一个向量，有：

z=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=(y_1,y_2\cdots,y_n)\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}

代入上文的

(y_1,y_2\cdots,y_n)=(x_1,x_2\cdots,x_n)A

由唯一性，得到：

\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}

或者

\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}

这是纯粹坐标之间的变换，坐标变换公式均在标量域中。由于前文做了区分，线性空间与阿贝尔群中的向量是「抽象的向量」，而坐标与过渡矩阵的元素均在标量域中，视为「具体的向量」，两种向量应当视为「不同的东西」。

矩阵可以对整个空间，即全体坐标进行变换，列向量作为坐标遍布整个空间。

单位矩阵由单位向量构成。矩阵会将单位矩阵变换到矩阵的每个列向量，即将单位向量变换到矩阵的每个列向量。因此左乘矩阵，也可以视为将空间做了这样的变换。

向量左乘矩阵，也可以视为坐标左乘向量组。用坐标的观点看待就是：

同一个列向量，在「正常」的空间，单位矩阵代表的空间下，坐标为，在变换后新的空间里，坐标将记为。这样一来，矩阵不仅是正常空间下的一组基，也是从向量组到向量组的过渡矩阵。

线性变换会将一个基映射为另一个基，于是坐标也被映射为另一个坐标。

如果将基 $\alpha$ 映射到 $\beta$ 对应的线性变换的过渡矩阵是，那么对应的基矩阵就有 $\beta=\alpha A$ 。

于是坐标的关系恰好反过来。假设线性变换映射后的坐标是，即加滤镜后观察到坐标，于是点在的表示就是 $\beta b$ 。还原的办法就是用过渡矩阵，把点在的表示写成 $\alpha Ab$ 。于是坐标变换为左乘过渡矩阵的逆矩阵的看法就明显了。

线性变换与矩阵相似

在空间中的一个线性变换对于空间的基 $\alpha$ 的关系：

线性变换作用于基 $\alpha$ ，将基 $\alpha$ 映射到了 $T(\alpha)$ ，相当于在基 $\alpha$ 右乘一个，即 $T(\alpha)=\alpha A$ 。

矩阵相似考虑的问题是：同一个线性变换，在基 $\beta$ 的空间中描述为矩阵，在基 $\alpha$ 的空间中描述为矩阵。

如果过渡矩阵为，即 $\beta=\alpha C$ ，那么两个描述和之间有怎样的联系。

由于是同一个变换，可以发现一个事实，变换前后的过渡矩阵关系始终成立，即：

T(\beta)=T(\alpha)C=\alpha AC

线性变换在基 $\beta$ 视角下仍旧为右乘，基 $\beta$ 转化到基 $\alpha$ 再右乘一个，变换前后保持过渡矩阵的关系：

T(\beta)=\beta B=\alpha CB

于是问题得到解决：

B=C^{-1}AC

定理：设中有变换，则在不同基下的矩阵相似。

对于方阵和方阵，如果存在可逆矩阵使得 $B=C^{-1}AC$ ，则和相似。

矩阵相似保持秩不变，因此矩阵相似可以推出矩阵等价。但是，等价的两个矩阵未必相似。

由于矩阵相似与形状密切相关，因此矩阵相似和向量组等价、方程组同解之间没有关系。

回过头来，矩阵相似的解释就是 4 个等式： $\beta=\alpha C$ 、 $T(\alpha)=\alpha A$ 、 $T(\beta)=\beta B$ 、 $T(\beta)=T(\alpha)C$ 。

参考资料

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集 P13 09 - 基变换

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