条件概率与独立性

概述

当某事件已经发生时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发生变化。例如在手游抽卡时，我们可能会认为单次抽卡出六星与不出六星是等概率的，但随着我们连抽 $50$ 发一个六星都没有，再固执地认为「出六星与不出六星等概率」就显得不是那么明智。

总之，研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的。

条件概率

定义

若已知事件 $A$ 发生，在此条件下事件 $B$ 发生的概率称为 条件概率，记作 $P (B | A)$ 。

在概率空间 $(Ω, F, P)$ 中，若事件 $A \in F$ 满足 $P (A) > 0$ ，则条件概率 $P (\cdot | A)$ 定义为

P (B | A) = \frac{P (A B)}{P (A)} \forall B \in F

可以验证根据上式定义出的 $P (\cdot | A)$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率函数。

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式：

概率乘法公式：在概率空间 $(Ω, F, P)$ 中，若 $P (A) > 0$ ，则对任意事件 $B$ 都有

P (A B) = P (A) P (B | A)

全概率公式：在概率空间 $(Ω, F, P)$ 中，若一组事件 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 两两不交且和为 $Ω$ ，则对任意事件 $B$ 都有

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})

Bayes 公式

一般来说，设可能导致事件 $B$ 发生的原因为 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，则在 $P (A_{i})$ 和 $P (B | A_{i})$ 已知时可以通过全概率公式计算事件 $B$ 发生的概率。但在很多情况下，我们需要根据「事件 $B$ 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

P (A_{i} | B) = \frac{P (A_{i} B)}{P (B)} = \frac{P (A_{i}) P (B | A_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} P (A_{j}) P (B | A_{j})}

上式即 Bayes 公式。

事件的独立性

在研究条件概率的过程中，可能会出现 $P (B | A) = P (B)$ 的情况。从直观上讲就是事件 $B$ 是否发生并不会告诉我们关于事件 $A$ 的任何信息，即事件 $B$ 与事件 $A$ 「无关」。于是我们就有了下面的定义

定义

若同一概率空间中的事件 $A$ , $B$ 满足

P (A B) = P (A) P (B)

则称 $A$ , $B$ 独立。对于多个事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，我们称其独立，当且仅当对任意一组事件 ${A_{i_{k}} : 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n}$ 都有

P (A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{r}}) = \prod_{k = 1}^{r} P (A_{i_{k}})

多个事件的独立性

对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立。考虑以下反例：

有一个正四面体骰子，其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色，另一面则三色皆有。现在扔一次该骰子，令事件 $A$ , $B$ , $C$ 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色。

不难计算 $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}$ ，而 $P (A B) = P (B C) = P (C A) = P (A B C) = \frac{1}{4}$ 。

显然 $A, B, C$ 两两独立，但由于 $P (A B C) \neq P (A) P (B) P (C)$ ，故 $A, B, C$ 不独立。

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