快速复数论变换

\mathbf Z_p 上的 NTT 常用于替代 FFT 以提高效率，但是严重依赖模数： p 是 2^mk+1 型（如费马质数）时能快速计算，是 2^mk-1 型（如梅森质数）时却难以进行；对此，Number theoretic transforms to implement fast digital convolution 中的快速复数论变换（complex NTT, CNTT）即 \mathbf Z_p[\text i] 上的 DFT 能解决，但未被重视。

DFT 可逆的条件

交换环 R 上的 DFT 可逆的充要条件是：存在 n 次本原单位根 \omega ，且 \omega^1-1,\omega^2-1,\cdots,\omega^{n-1}-1 可逆。

模 p 高斯整数环 \mathbf Z_p[\text i]

为便捷，以下用 p_- 表示 4k-1 型质数， p_+ 表示 4k+1 型质数。

p_- 是高斯整数 \mathbf Z[\text i] 的素元而 p_+ 不是，因此 \mathbf Z_{p_-}[\text i] 是域而 \mathbf Z_{p_+}[\text i] 不是，但 \mathbf Z_{p_+}[\text i] 上仍可进行 CNTT。

常用模数的单位根

n=2^{21} 时 p_-=999292927=2^{20}\times953-1 的 p_-^2-1 次单位根 \omega=1+8\text i ；

n=2^{23} 时 p_+=998244353=2^{23}\times119+1 的 p_+-1 次单位根 \omega=1+\text i ；

n=2^{16} 时 p_+=65537=2^{16}+1 的 p_+-1 次单位根 \omega=4+17573\text i 。

务必注意 \omega^{-1}\equiv\bar\omega 不一定成立。

性能和应用

洛谷 P3803 评测记录 显示，按照Optimization of number-theoretic transform in programming contests实现的 NTT 及与其同构的 CNTT, FFT 进行 2^{21}\approx2.1\times10^6 长度的变换用时分别约为 44,97,115 毫秒。

因此，对于模 2^mk-1 型质数的卷积问题，CNTT 明显优于三模数 NTT 和拆系数 FFT。

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